FMCW 调制¶

章节概述

调频连续波（Frequency Modulated Continuous Wave, FMCW）是毫米波雷达最常用的工作模式，它通过发射频率随时间线性变化的连续波信号来实现目标探测。

📚 本章学习路线：

🎵 理解 Chirp 信号的本质
📏 学会通过拍频测量距离
🚗 掌握速度测量原理
📊 理解 2D-FFT 信号处理

⏱️ 预计时间：40-50 分钟

前置知识

学习本章前建议先了解：

📡 雷达基本原理
🌊 多普勒效应
📐 傅里叶变换基础

🤔 为什么需要 FMCW？¶

脉冲雷达 vs FMCW 雷达

🔴 脉冲雷达🟢 FMCW 雷达

工作方式：发射短脉冲，测量回波时间

优点： - ✅ 原理简单 - ✅ 峰值功率高

缺点： - ❌ 平均功率低 - ❌ 近距离测量困难 - ❌ 需要高速 ADC - ❌ 功耗大

工作方式：连续发射调频信号，测量频率差

优点： - ✅ 功耗低（连续发射，低功率） - ✅ 近距离性能好 - ✅ ADC 要求低 - ✅ 可同时测距和测速

缺点： - ❌ 信号处理复杂 - ❌ 发射泄漏影响大

FMCW 的核心优势

汽车雷达为什么选择 FMCW？

🔋 低功耗：适合电池供电
📏 近距离：可测量 0.1 米到 200 米
💰 成本低：ADC 要求低
🎯 高精度：厘米级距离分辨率

📊 FMCW 基本原理¶

工作机制¶

FMCW 雷达发射一个频率随时间线性变化的信号（称为 chirp），接收目标反射回来的回波信号，通过测量发射信号和接收信号之间的频率差（拍频）来确定目标的距离和速度。

graph TD A[📡 发射 Chirp 信号] --> B[🎯 目标反射] B --> C[📡 接收回波] C --> D[⚡ 混频器] A --> D D --> E[🎵 拍频信号] E --> F[📊 FFT 处理] F --> G[✅ 距离/速度信息]

🎵 Chirp 信号¶

Chirp 信号公式

线性调频信号的瞬时频率为：

\[ f(t) = f_0 + S \cdot t \]

参数定义：

符号	参数名称	说明
$f_0$	起始频率	Chirp 的起始频率值
$S$	调频斜率	$S = B/T_c$ (Chirp Rate)
$B$	调频带宽	频率扫描的总带宽
$T_c$	Chirp 周期	一个 Chirp 的持续时间

完整的发射信号表达式为：

\[ \boxed{s_t(t) = A_t \cos\left[2\pi\left(f_0 t + \frac{S t^2}{2}\right) + \phi_0\right]} \]

FMCW 频率波形

📊 FMCW Chirp 信号的频率-时间特性：频率随时间线性增加

📏 距离测量原理¶

🎯 核心思想¶

测距的关键

时间延迟 → 频率差

FMCW 雷达巧妙地将时间测量转换为频率测量！

步骤分解：

graph LR A[目标距离 R] --> B[时间延迟 τ] B --> C[频率差 f_beat] C --> D[计算距离 R] style A fill:#e1f5ff style D fill:#d3f9d8

📐 数学推导¶

步骤 1：时间延迟步骤 2：接收信号步骤 3：混频得到拍频步骤 4：计算距离

电磁波往返目标所需时间：

\[ \boxed{\tau = \frac{2R}{c}} \]

数值感知

距离 10 m → 延迟 67 ns
距离 100 m → 延迟 667 ns
距离 1 km → 延迟 6.67 μs

接收信号相比发射信号延迟了 $\tau$：

\[ s_r(t) = A_r \cos\left[2\pi\left(f_0 (t-\tau) + \frac{S (t-\tau)^2}{2}\right) + \phi_0\right] \]

FMCW 测距原理

📈 FMCW 测距原理图解：发射信号（蓝色）和接收信号（红色）之间的频率差即为拍频

关键观察：由于 Chirp 信号频率线性增加，时间延迟 $\tau$ 对应一个频率差！

\[ f_{beat} = |f_t(t) - f_r(t)| = S \tau = \frac{2SR}{c} \]

测距公式

\[ \boxed{R = \frac{c \cdot f_{beat}}{2S} = \frac{c \cdot f_{beat} \cdot T_c}{2B}} \]

公式解读：

拍频 $f_{beat}$ 越大 → 距离 $R$ 越远
带宽 $B$ 越大 → 同样拍频对应距离越近（分辨率更高）

🧮 实际计算案例

雷达参数：

带宽 $B = 4$ GHz
Chirp 时间 $T_c = 100$ μs
调频斜率 $S = B/T_c = 40$ MHz/μs

测量结果：

拍频 $f_{beat} = 800$ kHz

计算距离： $$ R = \frac{3 \times 10^8 \times 800 \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6}}{2 \times 4 \times 10^9} = 30 \text{ m} $$

验算

也可以用另一个公式： $$ R = \frac{c \cdot f_{beat}}{2S} = \frac{3 \times 10^8 \times 800 \times 10^3}{2 \times 40 \times 10^{12}} = 30 \text{ m} $$

🎯 距离分辨率¶

什么是距离分辨率？

距离分辨率是指雷达能够分辨两个相邻目标的最小距离差。

想象两辆车：如果它们靠得太近，雷达就会把它们当成一个目标！

两个目标可分辨的最小距离差由信号带宽决定：

\[ \boxed{\Delta R = \frac{c}{2B}} \]

关键洞察

带宽越大，分辨率越高！

带宽翻倍 → 分辨率提高 2 倍
这就是为什么 4 GHz 带宽的毫米波雷达性能优秀

不同带宽的分辨率对比

带宽 $B$	距离分辨率 $\Delta R$	应用场景
50 MHz	3.0 m	远程监视雷达
200 MHz	0.75 m	气象雷达
1 GHz	15 cm	汽车雷达（老一代）
4 GHz	3.75 cm	现代毫米波雷达 ⭐
8 GHz	1.9 cm	高精度测距

毫米波雷达的优势

4 GHz 带宽可以实现 厘米级 的距离分辨率，足以：

🚗 区分前方多辆车
🚴 识别行人和自行车
🛣️ 检测道路边界

📊 最大探测距离¶

最大距离由采样率和 Chirp 时间决定：

\[ \boxed{R_{max} = \frac{c \cdot f_s \cdot T_c}{4B}} \]

为什么有最大距离限制？

原因：拍频不能超过采样率的一半（奈奎斯特定理）

\[ f_{beat,max} = \frac{f_s}{2} \]

代入测距公式： $$ R_{max} = \frac{c \cdot f_{beat,max}}{2S} = \frac{c \cdot f_s}{4S} = \frac{c \cdot f_s \cdot T_c}{4B} $$

🎮 参数设计练习

任务：设计一个汽车防撞雷达

需求：

✅ 最大探测距离：200 m
✅ 距离分辨率：5 cm
✅ 采样率：尽可能低（降低成本）

解决方案：

步骤 1：确定带宽 $$ B = \frac{c}{2\Delta R} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 0.05} = 3 \text{ GHz} $$

步骤 2：选择 Chirp 时间（假设 $T_c = 50$ μs）

步骤 3：计算所需采样率 $$ f_s = \frac{4BR_{max}}{cT_c} = \frac{4 \times 3 \times 10^9 \times 200}{3 \times 10^8 \times 50 \times 10^{-6}} = 16 \text{ MHz} $$

设计结果

带宽：3 GHz
Chirp 时间：50 μs
采样率：16 MHz （16-bit ADC 可实现）
距离分辨率：5 cm ✅
最大距离：200 m ✅

最大探测距离¶

由采样定理，最大不模糊距离取决于采样率：

\[ R_{max} = \frac{c \cdot f_s \cdot T_c}{4B} \]

其中 $f_s$ 是 ADC 采样率。

或者用另一种形式：

\[ R_{max} = \frac{c}{2 \cdot \Delta f} \]

其中 $\Delta f = B/N_{samples}$ 是频率分辨率。

速度测量¶

多普勒效应的影响¶

当目标有径向速度 $v_r$ 时，会产生多普勒频移：

\[ f_d = \frac{2v_r}{\lambda} = \frac{2v_r f_0}{c} \]

这会导致拍频发生偏移。

单 Chirp 的局限¶

单个 chirp 无法区分距离和速度引起的拍频变化，因为：

\[ f_{beat} = f_R + f_d \]

其中 $f_R$ 是距离分量，$f_d$ 是多普勒分量。

解决方案：多 Chirp 处理¶

发射多个连续的 chirp，形成一个帧（frame）：

Frame 结构

图：一个 Frame 由多个 Chirp 组成，用于多普勒分析

每个 Frame 包含多个 Chirp，通过对每个 Chirp 的同一距离 bin 进行 FFT 可以提取速度信息。

三角波调制¶

上扫频和下扫频¶

使用三角波调制（up-chirp 和 down-chirp）：

三角波 FMCW

图：三角波调制的 FMCW 信号用于同时测距和测速

通过上扫频和下扫频的拍频差异可以解耦距离和速度信息。

距离和速度解耦¶

上扫频（Up-chirp）： $$ f_{beat,up} = f_R + f_d $$

下扫频（Down-chirp）： $$ f_{beat,down} = f_R - f_d $$

求和消除多普勒分量： $$ f_R = \frac{f_{beat,up} + f_{beat,down}}{2} $$

求差得到多普勒分量： $$ f_d = \frac{f_{beat,up} - f_{beat,down}}{2} $$

从而得到：

\[ \boxed{R = \frac{c \cdot f_R \cdot T_c}{2B}} \]

\[ \boxed{v_r = \frac{\lambda \cdot f_d}{2}} \]

2D-FFT 处理¶

数据立方体¶

FMCW 雷达采集的原始数据可以表示为三维数据立方体：

维度 1: 快时间（Fast-time）- 单个 chirp 内的采样点
维度 2: 慢时间（Slow-time）- 多个 chirp 之间
维度 3: 通道（Channel）- 多个接收天线

第一次 FFT：Range FFT¶

对每个 chirp 的快时间采样进行 FFT，得到距离信息：

\[ S_R(k, m) = \sum_{n=0}^{N-1} s(n, m) \cdot e^{-j2\pi kn/N} \]

其中：

$n$ 是快时间采样索引
$m$ 是 chirp 索引
$k$ 是距离 bin

结果：Range Profile（距离剖面）

第二次 FFT：Doppler FFT¶

对每个距离 bin 的慢时间序列进行 FFT，得到速度信息：

\[ S_{RD}(k, l) = \sum_{m=0}^{M-1} S_R(k, m) \cdot e^{-j2\pi lm/M} \]

其中：

$m$ 是 chirp 索引
$l$ 是速度 bin

结果：Range-Doppler Map（距离-多普勒图）

角度 FFT 处理

图：多维 FFT 处理流程，包括距离、速度和角度维度

处理流程¶

graph LR A[ADC 数据 N × M] --> B[Range FFT 沿快时间] B --> C[Range Profile N × M] C --> D[Doppler FFT 沿慢时间] D --> E[Range-Doppler Map N × M] E --> F[CFAR 检测] F --> G[目标列表]

FMCW 雷达参数设计¶

关键参数¶

参数	符号	影响
中心频率	$f_0$	波长、天线尺寸、分辨率
带宽	$B$	距离分辨率
Chirp 时间	$T_c$	最大距离、采样率要求
Chirp 数量	$N_c$	速度分辨率、帧率
帧时间	$T_f$	速度分辨率、更新率
采样率	$f_s$	最大距离、ADC 要求

距离相关参数¶

距离分辨率： $$ \Delta R = \frac{c}{2B} $$

最大距离： $$ R_{max} = \frac{c \cdot f_s \cdot T_c}{4B} $$

距离 bin 数量： $$ N_{range} = \frac{2B \cdot R_{max}}{c} = \frac{f_s \cdot T_c}{2} $$

速度相关参数¶

速度分辨率： $$ \Delta v = \frac{\lambda}{2T_f} = \frac{\lambda}{2N_c T_c} $$

最大速度（不模糊）： $$ v_{max} = \frac{\lambda}{4T_c} $$

速度 bin 数量： $$ N_{velocity} = N_c $$

设计权衡¶

距离与采样率
更大的 $R_{max}$ 需要更高的 $f_s$
ADC 性能和成本限制
速度与帧率
更大的 $v_{max}$ 需要更短的 $T_c$
更好的速度分辨率需要更长的 $T_f$（更多 chirp）
带宽与功耗
更大的 $B$ 提供更好的距离分辨率
但增加功耗和复杂度

FMCW 雷达的优势¶

1. 低峰值功率¶

连续发射，平均功率等于峰值功率
功放设计简单，成本低
适合集成电路实现

2. 同时测距测速¶

通过 2D-FFT 同时获得距离和速度
无需额外的测量周期

3. 高距离分辨率¶

大带宽易于实现（毫米波）
可达厘米级甚至毫米级分辨率

4. 低截获概率¶

信号能量分散在时间和频率上
难以被截获和干扰

5. 抗干扰能力¶

窄带干扰只影响部分频率
可通过信号处理抑制

FMCW 雷达的挑战¶

1. 频率非线性¶

问题：实际 chirp 的频率并非完全线性

影响：

距离旁瓣升高
分辨率下降
虚假目标

解决方案：

高精度频率源（PLL）
频率校准和补偿
非线性校正算法

2. 发射泄漏¶

问题：发射信号直接泄漏到接收通道

影响：

饱和接收机
近距离盲区
动态范围降低

解决方案：

收发隔离设计
自适应对消
数字域补偿

3. 相位噪声¶

问题：本振相位噪声

影响：

距离和速度测量误差
弱目标被噪声淹没

解决方案：

高质量振荡器
相位噪声补偿算法

4. 多径效应¶

问题：信号经多条路径到达目标

影响：

虚假目标
测量误差

解决方案：

波束形成
多径抑制算法
MIMO 技术

实际应用示例¶

示例 1：汽车雷达参数¶

需求：

探测距离：0.5 ~ 200 m
距离分辨率：< 5 cm
速度范围：-100 ~ +100 km/h
速度分辨率：< 0.5 km/h

参数设计：

距离分辨率确定带宽： $$B \geq \frac{c}{2\Delta R} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 0.05} = 3 \text{ GHz}$$ 选择 $B = 4$ GHz
最大距离确定采样率（假设 $T_c = 50$ μs）： $$f_s \geq \frac{4B R_{max}}{c T_c} = \frac{4 \times 4 \times 10^9 \times 200}{3 \times 10^8 \times 50 \times 10^{-6}} = 213.3 \text{ MHz}$$ 选择 $f_s = 250$ MHz
速度分辨率确定帧时间（$\lambda = 3.9$ mm）： $$T_f \geq \frac{\lambda}{2\Delta v} = \frac{0.0039}{2 \times 0.14} = 14 \text{ ms}$$ 选择 $T_f = 50$ ms（对应帧率 20 Hz）
Chirp 数量： $$N_c = \frac{T_f}{T_c} = \frac{50 \times 10^{-3}}{50 \times 10^{-6}} = 1000$$

示例 2：77 GHz 雷达配置¶

参数	值
中心频率	77 GHz
带宽	4 GHz
Chirp 时间	50 μs
Chirp 数量	128
帧时间	40 ms
采样率	10 MHz
采样点数	512

性能：

距离分辨率：3.75 cm
最大距离：191 m
速度分辨率：0.49 km/h
最大速度：±98 km/h

TI mmWave SDK 中的 FMCW¶

Chirp 配置¶

// Chirp 参数配置
rlProfileCfg_t profileCfg = {
    .profileId = 0,
    .startFreq = 77.0,        // GHz
    .idleTime = 5.0,          // μs
    .adcStartTime = 6.0,      // μs
    .rampEndTime = 50.0,      // μs
    .txOutPower = 0,          // dB
    .txPhaseShifter = 0,      // degrees
    .freqSlopeConst = 80.0,   // MHz/μs
    .txStartTime = 0,         // μs
    .numAdcSamples = 512,
    .digOutSampleRate = 10000,// ksps
    .hpfCornerFreq1 = 0,
    .hpfCornerFreq2 = 0,
    .rxGain = 30              // dB
};

Frame 配置¶

// Frame 参数配置
rlFrameCfg_t frameCfg = {
    .chirpStartIdx = 0,
    .chirpEndIdx = 127,
    .numLoops = 1,
    .numFrames = 0,           // 连续模式
    .framePeriodicity = 40,   // ms
    .triggerSelect = 1,       // SW trigger
    .frameTriggerDelay = 0    // μs
};

📚 延伸学习¶

参考资料¶

Rohling, H. (2014). "Radar CFAR Thresholding in Clutter and Multiple Target Situations". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems.
Texas Instruments. (2017). mmWave Radar Sensors. Application Report.
Patole, S. M., et al. (2017). "Automotive Radars: A Review of Signal Processing Techniques". IEEE Signal Processing Magazine.

主题	链接	内容简介
信号处理	signal-processing.md	深入 FMCW 信号处理算法
目标检测	target-detection.md	了解 CFAR 检测方法
IWR1443 硬件	../iwr1443/hardware.md	学习 TI 雷达平台

符号	参数名称	说明
\(f_0\)	起始频率	Chirp 的起始频率值
\(S\)	调频斜率	\(S = B/T_c\) (Chirp Rate)
\(B\)	调频带宽	频率扫描的总带宽
\(T_c\)	Chirp 周期	一个 Chirp 的持续时间