多普勒效应¶

本章学习路线

📚 我们将学习：

🎶 从声波入手，理解多普勒效应的本质
📡 推导雷达中的多普勒频移公式
📊 学会计算目标速度
🛡️ 了解盲速和解模糊问题

⏱️ 预计时间：25-35 分钟

🎶 从生活开始：你听过多普勒效应¶

🚑 经典场景：救护车的警笛声

想象你站在路边，一辆救护车快速驶来…

graph LR A[👤 你] -->|1. 车驶近| B[🚑 呀——] A -->|2. 车经过| C[🚑 哦——] A -->|3. 车远离| D[🚑 呵——] style B fill:#ff6b6b style C fill:#ffd93d style D fill:#4dabf7

驶近 → 声音变尖锐（高音调） 🔺
经过 → 正常音调
远离 → 声音变低沉（低音调） 🔻

这就是 多普勒效应！

更多生活例子 🌟

🚄 火车鸣笛：经过月台时音调变化
🏎️ F1 赛车：引擎声的音调变化
🚁 飞机起降：引擎噪音的频率变化
⛷️ 球速雷达：棒球比赛中测量球速

📘 物理原理¶

什么是多普勒效应？¶

科学定义

多普勒效应（Doppler Effect）：当波源与观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波频率会发生变化。

简单记忆：

🚀 相对靠近 → 频率↑ 升高
🚀 相对远离 → 频率↓ 降低
⏸️ 没有相对运动 → 频率不变

🎵 声波中的多普勒公式¶

声波中的频率变化公式：

\[ \boxed{f' = f \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}} \]

参数详解 📖

符号	名称	说明
$f$	源频率	声源本身的频率
$f'$	观察频率	你听到的频率
$v$	波速	声速 (340 m/s)
$v_o$	观察者速度	你的运动速度
$v_s$	声源速度	救护车的速度

🧮 实际计算例子

场景：救护车以 30 m/s (108 km/h) 驶来，警笛频率 1000 Hz。

驶近时： $$ f' = 1000 \times \frac{340}{340-30} = 1000 \times \frac{340}{310} \approx 1097 \text{ Hz} $$

远离时： $$ f' = 1000 \times \frac{340}{340+30} = 1000 \times \frac{340}{370} \approx 919 \text{ Hz} $$

频率变化：1097 - 919 = 178 Hz，你能明显听出差别！

雷达中的多普勒效应¶

推导¶

对于雷达系统，电磁波以光速 $c$ 传播，目标以速度 $v$ 相对雷达运动。

单程多普勒频移¶

目标接收到的频率：

\[ f_1 = f_0 \left(1 + \frac{v_r}{c}\right) \]

双程多普勒频移¶

目标反射后，雷达接收到的频率：

\[ f_r = f_1 \left(1 + \frac{v_r}{c}\right) = f_0 \left(1 + \frac{v_r}{c}\right)^2 \]

由于 $v_r \ll c$，可以近似为：

\[ f_r \approx f_0 \left(1 + \frac{2v_r}{c}\right) \]

多普勒频移¶

定义多普勒频移 $f_d$：

\[ \boxed{f_d = f_r - f_0 = \frac{2v_r f_0}{c} = \frac{2v_r}{\lambda}} \]

其中：

$v_r$ 是径向速度（正值表示靠近，负值表示远离）
$\lambda$ 是雷达工作波长
$c$ 是光速

符号约定¶

通常约定：

目标靠近雷达：$v_r > 0$，$f_d > 0$（正多普勒）
目标远离雷达：$v_r < 0$，$f_d < 0$（负多普勒）
目标横向运动：$v_r = 0$，$f_d = 0$（零多普勒）

📐 径向速度与实际速度¶

基本关系¶

目标的实际速度 $v$ 与径向速度 $v_r$ 的关系：

\[ v_r = v \cos\theta \]

其中 $\theta$ 是速度方向与雷达视线的夹角。

graph LR A[雷达] -->|视线方向| B[目标] B -->|速度v| C[ ] style A fill:#e1f5ff style B fill:#ffe1e1

特殊情况汇总¶

场景	角度 $\theta$	径向速度 $v_r$	多普勒频移 $f_d$	特点
正面靠近/远离	0° / 180°	$\pm v$	最大	全速分量
横向运动	90°	0	0（盲速）	无径向分量
斜向运动	0° < θ < 90°	$0 < v_r < v$	部分	速度分解

🧮 多普勒频移计算¶

不同频段的多普勒频移对比¶

对于速度 $v = 100$ km/h = 27.78 m/s：

频段	频率	波长	$f_d$ (Hz)	应用场景
S	3 GHz	10 cm	556	远程监视雷达
X	10 GHz	3 cm	1852	气象雷达
Ku	15 GHz	2 cm	2778	卫星通信
Ka	35 GHz	8.6 mm	6481	交通雷达
77 GHz	77 GHz	3.9 mm	14256	汽车雷达
W	94 GHz	3.2 mm	17361	短程探测

关键观察

✅ 频率越高，多普勒频移越大
✅ 毫米波雷达的多普勒频移显著（>10 kHz）
✅ 更容易进行精确速度测量

速度测量分辨率¶

由观测时间 $T$ 决定：

\[ \Delta f_d = \frac{1}{T} \]

对应的速度分辨率：

\[ \Delta v = \frac{\lambda}{2T} \]

示例

对于 77 GHz 雷达，$\lambda = 3.9$ mm，观测时间 $T = 50$ ms：

\[ \Delta v = \frac{0.0039}{2 \times 0.05} = 0.039 \text{ m/s} = 0.14 \text{ km/h} \]

📊 多普勒频谱¶

不同目标类型的频谱特征¶

目标类型	频谱形式	数学表达式	特点
点目标	单一频率峰	$S(f) = \delta(f - f_d)$	理想情况
多目标	多个频率峰	$S(f) = \sum_{i=1}^{N} A_i \delta(f - f_{d,i})$	多个离散峰
扩展目标	频谱展宽	$S(f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_d^2}} \exp\left(-\frac{(f-f_d)^2}{2\sigma_d^2}\right)$	高斯分布

扩展目标展宽原因¶

序号	原因	说明	典型场景
1	速度差异	目标不同部位速度不同	车辆前后部
2	旋转振动	目标自身旋转或振动	引擎振动
3	相对加速	雷达与目标相对加速度	加减速过程

多普勒处理¶

脉冲多普勒雷达¶

慢时间采样¶

对于脉冲雷达，相邻脉冲的回波构成慢时间序列：

\[ s(m) = A e^{j2\pi f_d m T_r}, \quad m = 0, 1, \ldots, M-1 \]

其中 $T_r$ 是脉冲重复周期。

FFT 处理¶

对慢时间序列进行 FFT 得到多普勒谱：

\[ S(k) = \sum_{m=0}^{M-1} s(m) e^{-j2\pi km/M} \]

频率分辨率：

\[ \Delta f_d = \frac{1}{M T_r} = \frac{f_r}{M} \]

FMCW 雷达¶

2D-FFT 处理¶

FMCW 雷达通过 2D-FFT 同时获得距离和速度信息：

第一次 FFT（快时间）：距离信息
第二次 FFT（慢时间）：速度信息

结果是距离-多普勒图（Range-Doppler Map）。

距离 FFT → [距离 bin]
    ↓
多普勒 FFT
    ↓
[距离-多普勒图]

多普勒模糊¶

盲速问题¶

当多普勒频移为 PRF 的整数倍时，会出现盲速：

\[ v_{blind} = n \frac{\lambda f_r}{2} = n \frac{\lambda}{2T_r} \]

其中 $n = 1, 2, 3, \ldots$

最大不模糊速度¶

由奈奎斯特采样定理，最大不模糊速度：

\[ v_{max} = \frac{\lambda f_r}{4} \]

权衡

高 PRF：大的不模糊速度，但距离模糊
低 PRF：大的不模糊距离，但速度模糊

解决方法¶

多 PRF 技术
使用多个 PRF 交替发射
通过中国剩余定理解模糊
相位编码
对发射信号进行相位调制
增加速度测量范围
FMCW 雷达
不受 PRF 限制
速度范围主要由帧时间决定

运动补偿¶

平台运动影响¶

对于机载或车载雷达，平台自身的运动会引入额外的多普勒频移：

\[ f_d^{total} = f_d^{target} + f_d^{platform} \]

运动补偿方法¶

IMU/GPS 辅助
使用惯导或 GPS 测量平台速度
从多普勒测量中减去平台分量
参考目标
使用静止参考目标（如地面）
校准平台运动
DPCA（Displaced Phase Center Antenna）
多通道相位中心偏置天线
抑制静止杂波

🎯 多普勒雷达的应用¶

应用领域汇总表¶

序号	应用类别	技术/系统	具体应用	典型频率
1	速度测量	交通测速雷达	车辆测速、超速检测	24/35 GHz
		运动检测	球速测量、工业监测	10/24 GHz
2	目标检测	MTI	运动目标指示、杂波抑制	X/S 波段
		STAP	时空自适应、弱小目标检测	X 波段
3	微多普勒	步态识别	人体四肢摆动特征	77/94 GHz
		无人机检测	旋翼调制信号	77 GHz
		生命体征	呼吸、心跳监测	24/60 GHz
		手势识别	手部动作识别	60 GHz
4	SAR 成像	多普勒波束锐化	合成孔径雷达、高分辨成像	X/C 波段

实际应用示例¶

示例 1：汽车雷达测速¶

系统参数：

频率：$f_0 = 77$ GHz
波长：$\lambda = 3.9$ mm
目标速度：$v = 120$ km/h = 33.33 m/s
入射角：$\theta = 0°$（正面）

计算：

径向速度： $$v_r = v \cos(0°) = 33.33 \text{ m/s}$$

多普勒频移： $$f_d = \frac{2v_r}{\lambda} = \frac{2 \times 33.33}{0.0039} = 17094 \text{ Hz} \approx 17.1 \text{ kHz}$$

示例 2：侧向检测¶

系统参数：

频率：$f_0 = 77$ GHz
波长：$\lambda = 3.9$ mm
目标速度：$v = 60$ km/h = 16.67 m/s
入射角：$\theta = 45°$

计算：

径向速度： $$v_r = v \cos(45°) = 16.67 \times 0.707 = 11.79 \text{ m/s}$$

多普勒频移： $$f_d = \frac{2 \times 11.79}{0.0039} = 6046 \text{ Hz} \approx 6.0 \text{ kHz}$$

观察

侧向检测的多普勒频移约为正面检测的 $\cos(45°) \approx 0.707$ 倍

示例 3：速度分辨率¶

系统参数：

波长：$\lambda = 3.9$ mm
相参积累时间：$T = 100$ ms

速度分辨率：

\[ \Delta v = \frac{\lambda}{2T} = \frac{0.0039}{2 \times 0.1} = 0.0195 \text{ m/s} \approx 0.07 \text{ km/h} \]

这个分辨率足以区分相近速度的车辆。

多普勒与 FMCW 雷达¶

在 FMCW 雷达中，多普勒效应会影响频率测量：

上扫频¶

\[ f_{beat,up} = f_R + f_d \]

下扫频¶

\[ f_{beat,down} = f_R - f_d \]

距离和速度解耦¶

\[ f_R = \frac{f_{beat,up} + f_{beat,down}}{2} \]

\[ f_d = \frac{f_{beat,up} - f_{beat,down}}{2} \]

从而得到：

\[ R = \frac{c f_R T_c}{2B} \]

\[ v = \frac{\lambda f_d}{2} \]

📚 延伸学习¶

参考资料¶

Richards, M. A. (2014). Fundamentals of Radar Signal Processing. McGraw-Hill.
Chen, V. C. (2019). The Micro-Doppler Effect in Radar. Artech House.
Skolnik, M. I. (2008). Radar Handbook. McGraw-Hill.

主题	链接	内容简介
FMCW 调制	../mmwave/fmcw.md	学习 FMCW 雷达的工作原理
信号处理	../mmwave/signal-processing.md	深入多普勒信号处理
目标检测	../mmwave/target-detection.md	了解基于多普勒的目标检测

符号	名称	说明
\(f\)	源频率	声源本身的频率
\(f'\)	观察频率	你听到的频率
\(v\)	波速	声速 (340 m/s)
\(v_o\)	观察者速度	你的运动速度
\(v_s\)	声源速度	救护车的速度

场景	角度 \(\theta\)	径向速度 \(v_r\)	多普勒频移 \(f_d\)	特点
正面靠近/远离	0° / 180°	\(\pm v\)	最大	全速分量
横向运动	90°	0	0（盲速）	无径向分量
斜向运动	0° < θ < 90°	\(0 < v_r < v\)	部分	速度分解

目标类型	频谱形式	数学表达式	特点
点目标	单一频率峰	\(S(f) = \delta(f - f_d)\)	理想情况
多目标	多个频率峰	\(S(f) = \sum_{i=1}^{N} A_i \delta(f - f_{d,i})\)	多个离散峰
扩展目标	频谱展宽	\(S(f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_d^2}} \exp\left(-\frac{(f-f_d)^2}{2\sigma_d^2}\right)\)	高斯分布