雷达方程¶

本章学习目标

📚 你将学到：

✅ 理解雷达方程的物理意义
✅ 掌握雷达方程的完整推导过程
✅ 学会计算雷达的最大作用距离
✅ 了解 RCS 对雷达性能的影响

⏱️ 预计学习时间：30-40 分钟

前置知识

在学习本章之前，建议先了解：

📡 雷达基本原理 - 理解雷达的工作方式
📐 电磁波传播基础 - 自由空间损耗
🔢 基础数学 - 对数运算、指数运算

🎯 为什么需要雷达方程？¶

想象你是一名雷达工程师，需要设计一个能探测 100 公里外飞机的雷达系统。你会问：

工程师的三个核心问题

需要多大的发射功率？ 💪
需要多大的天线？ 📡
能探测到多大的目标？ 🎯

雷达方程就是回答这些问题的数学工具！它建立了雷达性能参数之间的定量关系。

📖 基本雷达方程¶

🔍 推导思路¶

我们将分四步推导雷达方程，每一步都对应电磁波传播的一个阶段：

graph LR A[🔴 发射功率 Pt] --> B[📡 扩散损耗 1/4πR²] B --> C[🎯 目标散射 σ] C --> D[📡 扩散损耗 1/4πR²] D --> E[🔵 接收功率 Pr] style A fill:#ff6b6b style E fill:#4dabf7 style C fill:#ffd93d

推导过程¶

步骤 1️⃣：发射功率与空间扩散¶

理解功率密度

想象在黑暗中点亮一个灯泡，离得越远，光线越暗。这就是球面扩散！

电磁波也是如此，能量在空间中均匀扩散。

全向天线（各向同性辐射）：

\[ S_1 = \frac{P_t}{4\pi R^2} \]

公式解读 📖

分子 $P_t$：发射功率（总能量）
分母 $4\pi R^2$：球面面积（能量分布的面积）
物理意义：能量均匀分布在球面上，距离越远，单位面积能量越小

定向天线（实际雷达使用）：

\[ \boxed{S = \frac{P_t G_t}{4\pi R^2}} \]

天线增益的作用 📡

天线增益 $G_t$ 就像给灯泡加了一个聚光灯罩，把能量集中在某个方向！

例子：如果 $G_t = 1000$（30 dBi），相当于把功率在主波束方向增强 1000 倍！

💡 实际计算例子

已知条件：

发射功率：$P_t = 10$ W
天线增益：$G_t = 1000$ (30 dBi)
目标距离：$R = 100$ m

计算： $$ S = \frac{10 \times 1000}{4\pi \times 100^2} = \frac{10000}{125664} \approx 0.0796 \text{ W/m}^2 $$

这个功率密度相当于 79.6 mW/m²，比全向天线高 1000 倍！

步骤 2️⃣：目标散射¶

什么是雷达散射截面（RCS）？

RCS $\sigma$ 是目标的有效散射面积，表示目标反射电磁波的能力。

形象比喻：如果目标是一面镜子，$\sigma$ 就是这面镜子的「有效面积」。

目标接收到的功率：

\[ P_r^{target} = S \cdot \sigma = \frac{P_t G_t \sigma}{4\pi R^2} \]

典型目标的 RCS

目标类型	RCS ($\sigma$)	等效半径
🐦 小鸟	0.01 m²	5.6 cm
🚗 轿车	10-100 m²	1.8-5.6 m
✈️ 战斗机	1-10 m²	0.56-1.8 m
🛩️ 大型客机	100-1000 m²	5.6-17.8 m
⚓ 舰船	10000 m²	56 m

步骤 3️⃣：回波扩散¶

目标反射的能量再次经历球面扩散，回到雷达处的功率密度：

\[ S_r = \frac{P_r^{target}}{4\pi R^2} = \frac{P_t G_t \sigma}{(4\pi)^2 R^4} \]

注意 $R^4$ 规律

电磁波往返两次，每次都有 $R^2$ 的损耗，所以总损耗是 $R^4$！

这就是为什么雷达作用距离增加很困难 - 距离翻倍，接收功率降低 16 倍！

步骤 4️⃣：天线接收¶

接收天线有效面积 $A_e$ 捕获的功率：

\[ P_r = S_r \cdot A_e = \frac{P_t G_t \sigma A_e}{(4\pi)^2 R^4} \]

利用天线增益与有效面积的关系：

\[ G_r = \frac{4\pi A_e}{\lambda^2} \quad \Rightarrow \quad A_e = \frac{G_r \lambda^2}{4\pi} \]

代入得到基本雷达方程：

🎉 雷达方程（最终形式）

\[ \boxed{P_r = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4}} \]

这就是雷达工程中最重要的公式之一！

📘 物理意义深入解读¶

雷达方程告诉我们什么？让我们拆解公式：

\[ P_r = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4} \]

📊 距离影响🎯 目标影响🌊 频率影响📡 天线影响

最关键的关系：$P_r \propto R^{-4}$

距离翻倍，功率降低 16 倍！

graph LR A[距离 1 km 功率 1 W] --> B[距离 2 km 功率 1/16 W] B --> C[距离 4 km 功率 1/256 W] C --> D[距离 8 km 功率 1/4096 W]

这就是为什么增加雷达作用距离很困难！

$P_r \propto \sigma$ - RCS 越大，越容易被发现

实际应用：

隐身战机：减小 RCS 到 0.1-1 m²
角反射器：增大 RCS 到 10000 m² 以上

目标类型	RCS	相对探测距离
隐身机	0.1 m²	0.56x
普通战机	10 m²	1.78x
客机	100 m²	3.16x

（相对于 RCS=1m² 的基准目标）

$P_r \propto \lambda^2$ - 频率越低，作用距离越远

为什么远程预警雷达使用低频？

在相同功率下：

S 波段 (10 cm 波长)：作用距离 100 km
Ka 波段 (1 cm 波长)：作用距离 31.6 km

但是！高频雷达有更高的分辨率，这是一个权衡。

$P_r \propto G_t \cdot G_r$ - 天线增益双倍增强

提高天线增益是最有效的方法！

发射天线增益增加 → 直接增强信号
接收天线增益增加 → 更好地收集能量

典型天线增益：

全向天线：0 dBi (G=1)
八木天线：15 dBi (G=31.6)
盘形天线：30 dBi (G=1000)
相控阵：40 dBi (G=10000)

🧮 实际应用：雷达计算器¶

💻 如何计算实际雷达的性能？

假设我们要设计一个汽车防撞雷达：

系统参数：

参数	值	单位
发射功率 $P_t$	0.01	W (10 mW)
发射增益 $G_t$	1000	(30 dBi)
接收增益 $G_r$	1000	(30 dBi)
工作频率 $f$	77	GHz
波长 $\lambda$	3.9	mm
目标 RCS $\sigma$	10	m² (轿车)
目标距离 $R$	100	m

计算接收功率：

\[ \begin{aligned} P_r &= \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4} \\ &= \frac{0.01 \times 1000 \times 1000 \times (0.0039)^2 \times 10}{(4\pi)^3 \times 100^4} \\ &= \frac{10 \times 1.52 \times 10^{-5} \times 10}{1984.4 \times 10^8} \\ &= \frac{1.52 \times 10^{-3}}{1.984 \times 10^{11}} \\ &\approx 7.66 \times 10^{-15} \text{ W} \\ &= \mathbf{-111.2 \text{ dBm}} \end{aligned} \]

结论

在 100 米距离上，接收功率约为 -111 dBm。

对于现代雷达接收机（灵敏度 -120 dBm），这是可以检测到的！

信噪比 (SNR)： $$ \text{SNR} = -111.2 - (-120) = 8.8 \text{ dB} $$

SNR > 0 dB，充足检测！

📐 雷达方程的其他形式¶

最大作用距离形式¶

雷达能够探测到目标的最大距离由最小可检测信号 $P_{r,min}$ 决定：

\[ \boxed{R_{max} = \left[\frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 P_{r,min}}\right]^{1/4}} \]

或者引入系统因子后：

\[ R_{max} = \left[\frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 P_{r,min} L}\right]^{1/4} \]

其中 $L \geq 1$ 是系统损耗因子。

信噪比形式¶

考虑接收机噪声，引入信噪比（SNR）：

\[ \text{SNR} = \frac{P_r}{P_n} = \frac{P_r}{k T_0 B_n F} \]

其中：

$k = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K 是玻尔兹曼常数
$T_0$ 是标准温度（通常取 290 K）
$B_n$ 是接收机噪声带宽
$F$ 是接收机噪声系数

雷达方程可以写成：

\[ \boxed{\text{SNR} = \frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 k T_0 B_n F L}} \]

脉冲雷达形式¶

对于脉冲雷达，平均功率 $P_{avg} = P_t \cdot \tau \cdot f_r$，其中：

$\tau$ 是脉冲宽度
$f_r$ 是脉冲重复频率（PRF）

考虑相参积累增益，雷达方程变为：

\[ \text{SNR} = \frac{P_{avg} G^2 \lambda^2 \sigma n}{(4\pi)^3 R^4 k T_0 B_n F L} \]

其中 $n$ 是相参积累的脉冲数。

🎯 雷达散射截面 (RCS)¶

基本定义¶

雷达散射截面 $\sigma$ 定义为：

\[ \sigma = \lim_{R \to \infty} 4\pi R^2 \frac{|E_s|^2}{|E_i|^2} \]

参数	说明	单位
$E_i$	入射电场强度	V/m
$E_s$	散射电场强度	V/m
$\sigma$	雷达散射截面	m² 或 dBsm

RCS 影响因素¶

因素类别	影响因子	特点
目标几何	平面目标	强镜面反射
	圆柱/球体	全向散射
	角反射器	强反射
目标尺寸	相对波长尺寸	谐振区、光学区不同特性
目标材料	金属	强反射
	电介质	部分透射
	隐身材料	吸波涂层
雷达参数	工作频率/波长	决定谐振效应
	极化方式	影响散射强度
	入射角度	决定散射方向

典型目标 RCS 参考表¶

目标类型	RCS (m²)	RCS (dBsm)	应用场景
昆虫	0.00001	-50	气象雷达抑制
小鸟	0.001	-30	机场鸟击预警
人体	0.5 - 2	-3 ~ 3	安防监控
小型汽车	10 - 100	10 ~ 20	交通雷达
货车/巴士	100 - 200	20 ~ 23	道路监测
小型飞机	1 - 2	0 ~ 3	通用航空
大型客机	20 - 40	13 ~ 16	民航管制
常规战斗机	5 - 10	7 ~ 10	军事探测
隐身飞机	0.01 - 0.1	-20 ~ -10	低可探测性
船舶	100 - 10000	20 ~ 40	海事雷达

RCS 的角度依赖性

RCS 不是常数，而是随观测角度变化的函数 $\sigma(\theta, \phi)$。上表中的值是典型的正面 RCS。

📉 系统损耗¶

实际雷达系统中存在各种损耗，用系统损耗因子 $L$ 表示：

\[ L = L_a \cdot L_t \cdot L_r \cdot L_s \cdot L_{misc} \]

主要损耗类型汇总¶

序号	损耗类型	符号	来源	典型值
1	大气损耗	$L_a$	大气吸收和散射	见下表
2	传输线损耗	$L_t$	馈线、波导、连接器	1-3 dB
3	接收机损耗	$L_r$	信号处理、量化、滤波器	2-5 dB
4	扫描损耗	$L_s$	波束指向偏离	1-2 dB
5	其他损耗	$L_{misc}$	多径、雷达罩、匹配	1-3 dB

大气损耗详细数据¶

大气损耗公式：$L_a = e^{2 \alpha R}$，其中 $\alpha$ 是大气衰减系数。

毫米波段的大气衰减系数 (dB/km)：

频率 (GHz)	晴天	中雨	大雨	雾霾
35	0.3	2	5	1
77	0.5	4	10	2
94	1.0	8	20	5

🎲 检测性能¶

1. 核心概念¶

雷达检测是一个统计决策过程，涉及两个关键指标：

指标	符号	定义	典型值
检测概率	$P_d$	目标存在时正确检测的概率	90-99%
虚警概率	$P_{fa}$	目标不存在时错误报警的概率	$10^{-6}$ ~ $10^{-4}$

权衡关系

$P_d$ 和 $P_{fa}$ 之间存在权衡：提高检测概率会增加虚警概率。

2. 门限设置¶

接收信号通过门限比较器决策：

\[ \begin{cases} \text{检测到目标}, & \text{if } P_r > V_T \\ \text{无目标}, & \text{if } P_r \leq V_T \end{cases} \]

3. 所需信噪比¶

为达到特定的 $P_d$ 和 $P_{fa}$，需要的信噪比：

\[ \text{SNR}_{req} \approx 10 \sim 20 \text{ dB} \]

影响因素：

因素	说明
目标起伏模型	Swerling I/II/III/IV
检测概率 $P_d$	越高需要更大 SNR
虚警概率 $P_{fa}$	越低需要更大 SNR
积累脉冲数	越多可降低 SNR 要求

📏 分辨率性能¶

1. 距离分辨率¶

距离分辨率是雷达能够区分两个相邻目标的最小距离差：

\[ \Delta R = \frac{c}{2B} \]

不同雷达类型：

雷达类型	分辨率公式	关键参数
脉冲雷达	$\Delta R = \frac{c \tau}{2}$	脉冲宽度 $\tau$
FMCW 雷达	$\Delta R = \frac{c}{2B}$	信号带宽 $B$

汽车雷达示例

77 GHz 汽车雷达，带宽 $B = 4$ GHz：

\[ \Delta R = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 4 \times 10^9} = 0.0375 \text{ m} = \mathbf{3.75 \text{ cm}} \]

2. 速度分辨率¶

速度分辨率取决于观测时间 $T$：

\[ \Delta v = \frac{\lambda}{2T} \]

雷达类型	观测时间	计算公式
脉冲雷达	$T = n \cdot T_r$	$n$ 个脉冲积累
FMCW 雷达	$T$ = 帧时间	单帧观测时间

3. 角度分辨率¶

角度分辨率由天线波束宽度决定：

\[ \theta_r \approx \frac{\lambda}{D} \]

参数	说明	影响
$\lambda$	波长	频率越高，分辨率越好
$D$	天线孔径尺寸	天线越大，分辨率越好

提高角度分辨率

相控阵雷达可通过数字波束形成 (DBF) 进一步提高角度分辨率。

实际应用示例¶

示例 1：汽车雷达性能计算¶

系统参数：

工作频率：$f = 77$ GHz，波长 $\lambda = 3.9$ mm
发射功率：$P_t = 10$ dBm = 10 mW
天线增益：$G = 20$ dB = 100
系统损耗：$L = 3$ dB = 2
噪声系数：$F = 10$ dB = 10
带宽：$B_n = 100$ MHz
所需 SNR：15 dB

目标参数：

RCS：$\sigma = 10$ m² (车辆)

计算最大作用距离：

\[ R_{max} = \left[\frac{P_t G^2 \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 k T_0 B_n F L \cdot \text{SNR}}\right]^{1/4} \]

代入数值（转换为线性单位）：

\[ R_{max} = \left[\frac{0.01 \times 100^2 \times (3.9 \times 10^{-3})^2 \times 10}{(4\pi)^3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 290 \times 10^8 \times 10 \times 2 \times 31.6}\right]^{1/4} \]

\[ R_{max} \approx 200 \text{ m} \]

示例 2：分辨率计算¶

距离分辨率（带宽 4 GHz）：

\[ \Delta R = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 4 \times 10^9} = 3.75 \text{ cm} \]

速度分辨率（帧时间 50 ms）：

\[ \Delta v = \frac{3.9 \times 10^{-3}}{2 \times 0.05} = 0.039 \text{ m/s} \approx 0.14 \text{ km/h} \]

角度分辨率（天线尺寸 10 cm）：

\[ \theta_r \approx \frac{3.9 \times 10^{-3}}{0.1} = 0.039 \text{ rad} \approx 2.2° \]

🔧 雷达方程的工程应用¶

系统设计应用场景¶

序号	应用方向	具体内容	关键决策
1	性能预测	预测探测距离 / 评估目标可检测性	系统可行性分析
2	参数权衡	功率 vs 距离 / 频率 vs 分辨率 / 天线尺寸 vs 成本	优化设计指标
3	系统优化	确定最优工作频率 / 选择信号带宽 / 优化天线设计	提升整体性能
4	环境评估	大气衰减影响 / 多径效应缓解	环境适应性设计

📚 延伸学习¶

📖 参考文献¶

序号	书目	说明
[1]	Skolnik, M. I. (2008). Radar Handbook (3rd ed.). McGraw-Hill.	经典雷达参考书
[2]	Richards, M. A. (2014). Fundamentals of Radar Signal Processing (2nd ed.). McGraw-Hill.	信号处理权威教材
[3]	Mahafza, B. R. (2013). Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB (3rd ed.). CRC Press.	实用工程设计指南

主题	链接	内容简介
多普勒效应	doppler-effect.md	学习速度测量原理
FMCW 调制	../mmwave/fmcw.md	了解调频连续波雷达
信号处理	../mmwave/signal-processing.md	深入信号处理技术

参数	值	单位
发射功率 \(P_t\)	0.01	W (10 mW)
发射增益 \(G_t\)	1000	(30 dBi)
接收增益 \(G_r\)	1000	(30 dBi)
工作频率 \(f\)	77	GHz
波长 \(\lambda\)	3.9	mm
目标 RCS \(\sigma\)	10	m² (轿车)
目标距离 \(R\)	100	m

参数	说明	单位
\(E_i\)	入射电场强度	V/m
\(E_s\)	散射电场强度	V/m
\(\sigma\)	雷达散射截面	m² 或 dBsm

序号	损耗类型	符号	来源	典型值
1	大气损耗	\(L_a\)	大气吸收和散射	见下表
2	传输线损耗	\(L_t\)	馈线、波导、连接器	1-3 dB
3	接收机损耗	\(L_r\)	信号处理、量化、滤波器	2-5 dB
4	扫描损耗	\(L_s\)	波束指向偏离	1-2 dB
5	其他损耗	\(L_{misc}\)	多径、雷达罩、匹配	1-3 dB

指标	符号	定义	典型值
检测概率	\(P_d\)	目标存在时正确检测的概率	90-99%
虚警概率	\(P_{fa}\)	目标不存在时错误报警的概率	\(10^{-6}\) ~ \(10^{-4}\)

因素	说明
目标起伏模型	Swerling I/II/III/IV
检测概率 \(P_d\)	越高需要更大 SNR
虚警概率 \(P_{fa}\)	越低需要更大 SNR
积累脉冲数	越多可降低 SNR 要求

雷达类型	分辨率公式	关键参数
脉冲雷达	\(\Delta R = \frac{c \tau}{2}\)	脉冲宽度 \(\tau\)
FMCW 雷达	\(\Delta R = \frac{c}{2B}\)	信号带宽 \(B\)

雷达类型	观测时间	计算公式
脉冲雷达	\(T = n \cdot T_r\)	\(n\) 个脉冲积累
FMCW 雷达	\(T\) = 帧时间	单帧观测时间

参数	说明	影响
\(\lambda\)	波长	频率越高，分辨率越好
\(D\)	天线孔径尺寸	天线越大，分辨率越好