MIMO 与 DOA 估计¶
章节概述
现代毫米波雷达的角度估计能力依赖 MIMO 技术 与 自适应波束形成/子空间类 DOA 算法。本章系统介绍：
- MIMO 的三大复用方式（TDM / FDM / BPM / DDMA）
- 虚拟阵列的数学构造
- 古典波束形成 → Capon → MUSIC / ESPRIT 的演进
- 工程选型与实现代码
🎯 1. 为什么需要 MIMO？¶
单发单收（SISO）雷达无法测角。SIMO（单发多收）可通过接收阵列测角，角度分辨率受限于接收天线数 \(N_{\text{RX}}\)：
MIMO 雷达让 \(N_{\text{TX}}\) 个发射天线发射 相互正交 的波形，利用 \(N_{\text{TX}} \times N_{\text{RX}}\) 对收发路径形成 虚拟阵列，等效孔径扩大为：
IWR1443 案例
3 TX × 4 RX = 12 虚拟阵元，在保持硬件规模不变的前提下显著提升角度分辨率。
🔁 2. 波形正交复用方式¶
各 TX 按时间轮流发射，接收端通过 Chirp 索引区分 TX。
- ✅ 硬件简单，TI IWR/AWR 默认方案
- ❌ 等效 PRF 降为 \(1/N_{\text{TX}}\) ⇒ 最大无模糊速度下降
- ❌ 快速目标需要 速度补偿（不同 TX 发射时刻相位差）
多 TX 同时发射，每个 Chirp 用二进制相位码（如 Hadamard 矩阵）编码。 接收端通过相同编码解码分离各 TX。
- ✅ 保持完整 PRF
- ✅ SNR 提升 \(10\log_{10}(N_{\text{TX}})\) dB
- ❌ 硬件需要高速相位切换
各 TX 在多普勒域分配不同子带（通过逐 Chirp 线性相位）。
- ✅ 完整 PRF，可软件实现
- ❌ 可用多普勒带宽减小为 \(1/N_{\text{TX}}\)
不同 TX 占用不同中心频率。极少用于汽车雷达（带宽受限、校准复杂）。
🧮 3. 虚拟阵列的数学构造¶
设 \(N_{\text{TX}}\) 个发射阵元位置 \(\mathbf{p}^{t}_i\)，\(N_{\text{RX}}\) 个接收阵元位置 \(\mathbf{p}^{r}_j\)，单目标角度 \(\theta\) 的回波相位为：
其中 \(\mathbf{u}(\theta)\) 是单位方向矢量。虚拟阵元位置 即为：
IWR1443 虚拟阵列设计
3 TX 间距 \(2\lambda\)、4 RX 间距 \(\lambda/2\)，得到间距为 \(\lambda/2\) 的 12 元均匀线阵，等效孔径 \(5.5\lambda\)。
🧠 4. DOA 算法演进¶
| 算法 | 类型 | 分辨率 | 复杂度 | 是否需要信源数 |
|---|---|---|---|---|
| FFT / 常规波束形成 | 非自适应 | \(\sim 1/N\) | \(O(N \log N)\) | 否 |
| Capon (MVDR) | 自适应 | \(\sim 1/(N \cdot \text{SNR})\) | \(O(N^3)\) | 否 |
| MUSIC | 子空间 | 超分辨 | \(O(N^3)\) | 是 |
| ESPRIT | 子空间 | 超分辨 | \(O(N^3)\) | 是 |
| Root-MUSIC | 子空间多项式 | 超分辨 | \(O(N^3)\) | 是 |
4.1 Capon（MVDR）波束形成¶
在保持期望方向增益为 1 的约束下，最小化阵列输出功率：
解得：
Python 实现：
import numpy as np
def capon_doa(X, num_antennas, d_over_lambda=0.5,
theta_scan=np.linspace(-90, 90, 1801), diagonal_load=1e-3):
"""Capon / MVDR 角度谱"""
R = X @ X.conj().T / X.shape[1]
R += diagonal_load * np.trace(R) / num_antennas * np.eye(num_antennas)
R_inv = np.linalg.inv(R)
n = np.arange(num_antennas).reshape(-1, 1)
A = np.exp(-1j * 2 * np.pi * d_over_lambda * n * np.sin(np.deg2rad(theta_scan)))
P = 1.0 / np.real(np.einsum('nk,nm,mk->k', A.conj(), R_inv, A) + 1e-12)
return 10 * np.log10(P / P.max()), theta_scan
Capon vs MUSIC
- Capon 不需要信源数，对相干源更稳健，谱峰宽但可靠。
- MUSIC 分辨率更高，但依赖信源数估计和子空间假设。
4.2 ESPRIT（旋转不变子空间）¶
ESPRIT 利用 ULA 的平移不变性，将角度估计转化为 广义特征值问题，无需谱搜索，计算更快。
核心步骤：
- 信号子空间 \(\mathbf{U}_s \in \mathbb{C}^{N\times P}\)
- 拆分为上下子阵：\(\mathbf{U}_1 = \mathbf{U}_s(1\!:\!N\!-\!1,:),\ \mathbf{U}_2 = \mathbf{U}_s(2\!:\!N,:)\)
- 求解 \(\mathbf{U}_2 = \mathbf{U}_1 \mathbf{\Psi}\) 的特征值 \(\phi_i = \angle \lambda_i\)
- 角度：\(\theta_i = \arcsin\!\big(\phi_i / (2\pi d/\lambda)\big)\)
def esprit_doa(X, num_sources, num_antennas, d_over_lambda=0.5):
R = X @ X.conj().T / X.shape[1]
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(R)
Us = eigvecs[:, np.argsort(eigvals)[::-1][:num_sources]]
U1, U2 = Us[:-1, :], Us[1:, :]
Psi = np.linalg.pinv(U1) @ U2
phi = np.angle(np.linalg.eigvals(Psi))
return np.rad2deg(np.arcsin(phi / (2 * np.pi * d_over_lambda)))
🚧 5. TDM-MIMO 速度补偿¶
TDM 下，不同 TX 发射时刻不同，运动目标会在虚拟阵列上引入 跨 TX 的多普勒相位误差：
必须在 DOA 估计前 扣除 \(\Delta\phi\)，否则角度估计会偏移。标准做法：
- Range-Doppler FFT 获得目标的 \(f_d\)
- 计算每个 TX 相对第一个 TX 的相位补偿
- 对虚拟阵列数据逐目标相位旋转
- 再做角度 FFT / MUSIC
🛠 6. 工程选型建议¶
| 场景 | 推荐算法 |
|---|---|
| 实时嵌入式（DSP/FPGA）、角度冗余 | Angle-FFT + Zero Padding |
| 需要自适应抑制旁瓣 | Capon |
| 多密集目标、非相干 | MUSIC |
| 低计算量 + 超分辨 | ESPRIT / Root-MUSIC |
| 相干多径环境 | Capon + 空间平滑 或 FBSS-MUSIC |